Il Quadrato Magico
Considerazioni generali
Si definisce Quadrato Magico uno schema numerico in forma di matrice quadrata di N×N caselle, in cui la somma dei numeri su ciascuna riga, ciascuna colonna e ciascuna delle due diagonali dà sempre lo stesso valore, detto costante o soluzione del quadrato. Le caselle della matrice vengono dette anche case. Il Quadrato è detto canonico o regolare se contiene nelle sue case tutti e soli i numeri da 1 a N²; in tal caso la costante è univoca ed è determinabile tramite la seguente formula matematica:
Il valore N è chiamato ordine del Quadrato Magico. Esistono diversi algoritmi per la costruzione di quadrati magici, differenziati tra loro a seconda dell'ordine. Si verifica facilmente che non esiste un quadrato magico di ordine 2, che ne esiste uno solo di ordine 3 (a parte, ovviamente, tutte le sue riflessioni e rotazioni) mentre ne esistono molteplici degli ordini successivi.
Oltre ai quadrati semplicemente magici, ne esistono di altre categorie e varietà; ad esempio, vengono chiamati diabolici i quadrati che mantengono le loro proprietà rispetto a quattro diverse trasformazioni: rotazione, riflessione, traslazione da bordo a bordo di una riga oppure di una colonna; si dicono satanici, o doppiamente magici, quei quadrati che mantengono le loro proprietà anche se i numeri che li compongono vengono elevati a potenza, poi ci sono i quadrati pandiagonali, detti anche panmagici o Nasik in cui la costante si ottiene anche in altri modi regolari. Ad esempio, il Quadrato Magico di Dürer, di cui si parlerà più dettagliatamente nel seguito, fornisce la costante anche con le quattro caselle d'angolo, con i quattro quadranti di 2×2 caselle, con il piccolo quadrato centrale e persino sulle diagonali spezzate.
Lungi dall'essere una pura curiosità matematica, il Quadrato Magico ha rappresentato sin dai tempi più antichi un carattere simbolico ed iniziatico, come è suggerito dall'aggettivo stesso che lo definisce, "magico". I Quadrati erano noti già presso i Cinesi nei primi secoli dopo Cristo, insieme a tutta un'altra serie di figure "magiche", come cerchi e cubi. Il più semplice quadrato magico, quello di ordine 3, era chiamato Lo-Shu ed era tenuto in gran venerazione. In Europa queste meraviglie matematiche giunsero più tardi; il primo a parlarne fu il grammatico bizantino Manuel Moschopulos (circa 1265-1316). Da allora molti se ne occuparono a più livelli; tra i più illustri, citiamo Heinrich Cornelius Agrippa (1486-1535), filosofo, scienziato e mago del Rinascimento, che ne diede la seguente definizione: «tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti».
Nel simbolismo esoterico, i Quadrati Magici sono generalmente associati ai Sigilli Planetari. In particolare, gli schemi dei primi sette ordini (cominciando dal 3, ovviamente, fino al 9) vengono definiti in funzione dei numeri rappresentativi di ogni pianeta. Gli schemi così ottenuti, riprodotti su sigilli o clavicole, oppure tracciati su pergamene, sono detti Quadrati Magici Planetari. Le corrispondenze tra pianeti ed ordini è la seguente:
Quadrato Magico di Saturno: ordine 3
Quadrato Magico di Giove: ordine 4
Quadrato Magico di Marte: ordine 5
Quadrato Magico del Sole: ordine 6
Quadrato Magico di Venere: ordine 7
Quadrato Magico di Mercurio: ordine 8
Quadrato Magico della Luna: ordine 9
L'uso decorativo-simbolico dei Quadrati Magici lo ritroviamo negli affreschi di ville rinascimentali (come il caso di Villa Torlonia, a Roma, dove troviamo un eccezionale quadrato di ordine 9), in opere d'arte (come la celebre acquaforte "Melencolia I" di Albrecht Dürer) o in opere architettoniche: un illustre esempio di quest'ultimo caso lo troviamo sulla facciata della Sagrada Familia di Barcellona.
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Il Quadrato Magico di ordine 4 sulla facciata
della Sagrada Familia, a Barcellona